定理2設函數y=f(u)與u=φ(x)滿足條件:(1)f(u)=A;(2)當x≠x0時,φ(x)≠a,且φ(x)=a,則復合函數f[φ(x)]當x→x0時的極限存在,且注2:上述定理的使用條件是當x≠x0時,φ(x)≠a.否則不一定成立.例如定理2表明,在一定條件下,求極限可以采用換元的方式...[繼續閱讀]

    基礎題1.求下列極限:2.求下列極限:3.求下列極限:4.設求:f(x),f(x),f(x).提高題1.求下列極限:2.求下列極限:3.已知(x2+ax+b)/(1-x)=1,試求a與b的值.4.下列陳述中,哪些是對的,哪些是錯的?如果是對的,說明理由;如果是錯的,試給出一個反例.(1)如果...[繼續閱讀]

    先證x→+∞的情形.當x>0時,有由冪函數的性質得再由指數函數的性質得利用,可知所以.再證x→-∞的情形.令x=-t,則t→+∞.最后得.若令t=1/x,可得(1+t)1/t＝e.y=(1+x)1/x在0附近的圖像如圖1.32所示.圖1.32例5求極限.例6求極限.解所求極限可分為...[繼續閱讀]

    用a表示本金,r表示年利率,那么經過t年后的余額為a(1+r)t.如果一年支付n次,那么經過t年后的余額為.根據前面的知識,我們知道隨著n的增大而增大,那么它最終可以增大到多少呢?這個值稱為連續復利.它究竟有多大?由3.3.3節例1可得er≈...[繼續閱讀]

    基礎題1.填空題:2.求下列極限:3.求下列極限:提高題1.利用極限存在的準則證明:(2)數列,,,…的極限存在.2.求下列極限:...[繼續閱讀]

    基礎題1.當x→0時,下列函數中哪些是無窮小,哪些是無窮大?2.用無窮小的性質說明下列函數是無窮小:3.比較下列無窮小階數的高低:提高題1.指出下列函數在自變量給定的變化過程中哪些是無窮小?哪些是無窮大?2.下列函數在自變量怎樣...[繼續閱讀]

    基礎題1.討論函數,在點x=1處的連續性,并畫出它的圖像.2.求函數f(x)=(x+3)/(x2+x-6)的連續區間,并求極限f(x),f(x),f(x).3.設函數當a為何值時,才能使f(x)在點x=0處連續?4.求下列函數的間斷點,并指出間斷點的類型:提高題1.設函數y=f(x)=x3-x+2,求適合...[繼續閱讀]

    基礎題1.求下列極限:2.指出函數y=cosx在[0,3π/2]上的最大值和最小值.3.指出函數y=ex在[2,4]上的最大值和最小值.提高題1.證明方程x5+3x-1=0在區間(1,2)內至少有一個實根.2.證明方程ex-2=0在區間(0,1)內必定有根.3.證明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至...[繼續閱讀]

    利用極限工具可以研究函數的連續性和可導性,這是函數重要的性質,實際上,這二者之間也存在著一定的聯系.定理(函數可導與連續的關系)函數y=f(x)在點x處可導,則函數在點x處連續;反之,則不一定成立.例如y=|x|,在x=0處連續,但不可導...[繼續閱讀]

    基礎題1.已知函數y=2-x2,試求當x從0.4變化到1.3時函數值的增量△y.2.計算極限((3+h)2-9)/h.3.計算極限(t2-x2)/(t-x).4.利用定義求函數在x=1處的導數.5.利用定義求函數y=x2+ax+b(a、b為常數)的導數.6.利用定義求函數y=1/x2的導數.7.利用定義證明(co...[繼續閱讀]